چند اثبات کوتاه ریاضی

[Ֆℋ£¥∂α]

فرش کردن همه‌ی 62 خانه با دومینوها

احتمالاً تا کنون این سؤال را دیده‌اید که اگر از مربع 8 در 8 دو خانه‌ی گوشه‌ای را حذف کنیم که مقابل هم هستند در این صورت نمی‌توان 62 خانه‌ی باقیمانده را با 31 تا دومینو پوشاند. راه‌حلی که معمولاً برای این سؤال ارائه می‌دهند این است که مربع 8 در 8 را با دو رنگ سیاه و سفید به صورت شطرنجی رنگ می‌کنند و سپس وقتی ما دو خانه به صورت فوق را حذف کنیم تعداد خانه‌های سفید و سیاه اختلافی برابر دو پیدا می‌کنند اما هر دومینو دقیقاً یک سیاه را می‌پوشاند و یک سفید را و به همین خاطر شرط لازم برای این‌که بتوان بخشی از یک صفحه‌ی شطرنجی را با دومینوها پوشاند این است که تعداد خانه‌های سفید و خانه‌های سیاه آن با هم برابر باشد. اما در این‌جا می‌توان یک سؤال دیگر پرسید:
فرض کنید در یک صفحه‌ی شطرنجی هشت در هشت دو خانه از رنگ مخالف را حذف کرده‌ایم آیا می‌توان خانه‌های باقی‌مانده را با 31 عدد دومینو پوشاند. پاسخ مثبت است، راهی که شخصی به نام Gomory پیشنهاد می‌کند در تصویر زیر آمده است. سعی کنید راه را حدس بزنید.

مجموع اعداد از 1 تا n

1+2+⋯+(n−1)=(n2)

مجموع مربعات اعداد 1 تا n


12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6
مجموع مکعب‌های اعداد 1 تا n

13+23+⋯+n3=(1+2+⋯+n)2