انجام یکی از سخت ترین معادله ها:معادله ی لاپلاس

[SɪʟᴠᴇʀMɪɴᴅ]

معادلهٔ لاپلاس یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی است که از اهمّیّت و کاربرد فراوانی در ریاضیّات، فیزیک، و مهندسی برخوردار است. به عنوان چند نمونه می‌شود به زمینه‌هایی همچون الکترومغناطیس، ستاره‌شناسی، و دینامیک سیالات اشاره کرد که حلّ این معادله در آن‌ها کاربرد دارد. در سه بعد می‌شود آن را به صورت زیر نمایش داد:

∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 + ∂ 2 φ ∂ z 2 = 0 {\displaystyle {\partial ^{2}\varphi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial z^{2}}=0} {\displaystyle {\partial ^{2}\varphi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial z^{2}}=0}

این معادله، حالت همگن معادله پواسن است. جواب‌های کلی این معادله در نظریه پتانسیل بررسی می‌شوند و تمام آن‌ها توابع همساز هستند.
شرایط مرزی

در کل سه نوع شرایط مرزی وجود دارد. دیریکله، نویمان، کوشی.

شرط مرزی دیریکله یعنی مقدار خود تابع روی مرز داده شده باشد. (مثل این که مقدار پتانسیل را روی مرزها بدانیم)
شرط مرزی نویمان یعنی مشتق عمود بر سطح تابع روی مرزها مشخص باشد .(مثل این که نیروی الکترومغناطیسی را روی مرزها بدانیم)
شرط مرزی کوشی به معنی مشخص بودن هم خود تابع و هم مشتق عمود برسطح آن است.

برای معادله لاپلاس شرایط دیریکله یا نویمان کافی است. یعنی با در دست داشتن یکی از شرایط هم مقدار تابع به دست می‌آید و هم مشتق عمود آن و شرط مرزی کوشی برای این معادله اشتباه است. جواب معادله لاپلاس در داخل مرزها تحلیلی است. اصل برهمنهی در مورد جواب‌های این معادله صادق است یعنی هر ترکیب خطی از جواب‌های معادله خود نیز جواب معادله است.
خواص معادله لاپلاس

پاسخ معادله لاپلاس دو ویژگی جالب دارد:

خاصیت میانگین: مقدار پتانسیل در هر نقطه برابر میانگین نقاط اطرافش است. در دو بعد نقاط اطراف را می‌توان دایره ای به شعاع R حول نقطه مورد نظر در نظر گرفت و در سه بعد نقاط اطراف را می‌توان کره ای به شعاع R حول نقطه مورد نظر تعریف کرد.
خاصیت نداشتن ماکزیمم و مینیمم نسبی: پاسخ معادله لاپلاس هیچ ماکزیمم و مینیمم نسبی ندارد و نقاط اکسترمم تنها در مرزهای مسئله رخ می‌دهند. این خاصیت را می‌توان با استفاده از خاصیت قبلی ثابت کرد.

معادلات لاپلاس در دو بعد

فرم معادلهٔ لاپلاس با دو متغیر مستقل به صورت زیر است:

∂ 2 ψ ∂ x 2 + ∂ 2 ψ ∂ y 2 ≡ ψ x x + ψ y y = 0. {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}\equiv \psi _{xx}+\psi _{yy}=0.} {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}\equiv \psi _{xx}+\psi _{yy}=0.}

توابع تحلیلی

قسمت حقیقی و موهومی یک تابع تحلیلی مختلط، هر دو در معادله لاپلاس صدق می‌کند. اگر z مختلط باشد و: f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) , {\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y),\,} {\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y),\,} شرط لازم برای اینکه (f(z تابع تحلیلی باشد این است که در معادلهٔ کوشی ریمان صدق کند.

u x = v y , v x = − u y . {\displaystyle u_{x}=v_{y},\quad v_{x}=-u_{y}.\,} {\displaystyle u_{x}=v_{y},\quad v_{x}=-u_{y}.\,}

این منجر می‌شود به:

u y y = ( − v x ) y = − ( v y ) x = − ( u x ) x . {\displaystyle u_{yy}=(-v_{x})_{y}=-(v_{y})_{x}=-(u_{x})_{x}.\,} {\displaystyle u_{yy}=(-v_{x})_{y}=-(v_{y})_{x}=-(u_{x})_{x}.\,}

بنابراین u در معادلهٔ لاپلاس صدق می‌کند. به همین شکل می‌توان نشان داد که v هم در معادلهٔ لاپلاس صدق می‌کند. بالعکس، با در نظر گرفتن یک تابع هارمونیک، بخش تحلیلی (f(z (حداقل به‌طور موضعی) است اگر آزمون به فرم

f ( z ) = φ ( x , y ) + i ψ ( x , y ) , {\displaystyle f(z)=\varphi (x,y)+i\psi (x,y),\,} {\displaystyle f(z)=\varphi (x,y)+i\psi (x,y),\,}

باشد، در صورتی که قرار دهیم:

ψ x = − φ y , ψ y = φ x . {\displaystyle \psi _{x}=-\varphi _{y},\quad \psi _{y}=\varphi _{x}.\,} {\displaystyle \psi _{x}=-\varphi _{y},\quad \psi _{y}=\varphi _{x}.\,}.

معادله کوشی ـ ریمان ارضا می‌شود. این رابطه ψرا مشخص نمی‌کند، بلکه فقط رشد آن را مشخص می‌کند.

ψ x y = ψ y x , {\displaystyle \psi _{xy}=\psi _{yx},\,} {\displaystyle \psi _{xy}=\psi _{yx},\,}

معادله لاپلاس برای ψ به‌طور ضمنی بیان می‌کند که شرایط انتگرال‌پذیری در ψ صدق می‌کند.

φ = log ⁡ r , {\displaystyle \varphi =\log r,\,} {\displaystyle \varphi =\log r,\,}

و بنابراین ψ را می‌توان با یک انتگرال خط تعریف کرد. شرایط انتگرال‌پذیری و قضیه استوکس نشان می‌دهد که مقدار انتگرال تنها به دو نقطه ابتدایی و انتهایی ارتباط دارد و از مسیر مستقل است. جفت جواب‌های معادله لاپلاس توابع همساز همیوغ نامیده می‌شوند. این نتیجه تنها هنگامی که مسیر دور یک نقطه تکین دور نزند و به‌طور موضعی مورد قبول است. برای مثال اگر r و v مختصات قطبی باشند

φ = log ⁡ r , {\displaystyle \varphi =\log r,\,} {\displaystyle \varphi =\log r,\,}

یک تابع تحلیلی معادل است با

f ( z ) = log ⁡ z = log ⁡ r + i θ . {\displaystyle f(z)=\log z=\log r+i\theta .\,} {\displaystyle f(z)=\log z=\log r+i\theta .\,}

در هر صورت زاویهٔ θ فقط در ناحیه‌ای که مبدأ را محصور نمی‌کند تک مقداری است. رابطه نزدیک بین معادله لاپلاس و تابع تحلیلی نشان می‌دهد که هر جواب معادله لاپلاس از هر مرتبه‌ای مشتق دارد و حداقل در یک دایره که یک نقطهٔ تکین را محصور نکند می‌تواند به صورت یک سری توانی بسط داده شود. این با جواب معادلهٔ موج کاملاً در تضاد است، که معمولاً نظم کمتری دارد. یک رابطهٔ نزدیک بین سری‌های توانی و سری‌های فوریه وجود دارد. اگر ما یک تابع f را به صورت سری توانی در یک دایره با شعاع R بسط دهیم، این به این معناست که

f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ c n z n , {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n},\,} {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n},\,}

ضرایب تعریف شده مناسب قسمت‌های موهومی و حقیقی به این صورت دارند:

f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ c n z n , {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n},\,} {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n},\,}

بنابراین

f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ [ a n r n cos ⁡ n θ − b n r n sin ⁡ n θ ] + i ∑ n = 1 ∞ [ a n r n sin ⁡ n θ + b n r n cos ⁡ n θ ] , {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\left[a_{n}r^{n}\cos n\theta -b_{n}r^{n}\sin n\theta \right]+i\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}r^{n}\sin n\theta +b_{n}r^{n}\cos n\theta \right],\,}